Кандидат физико-математических наук Андрей Егоров предложил своё опровержение гипотезы Римана, основанное на оценке снизу модулей значений производной ζ-функции в ее нулях. Брошюру с описанием опровержения исследователь опубликовал на своем сайте.
Гипотеза Римана связана с одноименной дзета-функцией. Она представляет собой бесконечный ряд, сумму дробей, в знаменателей которых находится целое число в степени комплексного числа. В качестве аргумента этой функции как раз и выступает комплексное число.
Дзета-функция Римана. s = σ + it — комплексное число
Гипотеза Римана гласит, что «Все нетривиальные нули дзета-функции имеют вещественную часть, равную 1/2». На эту гипотезу опираются многие важные теоремы из теории чисел. Поэтому ее опровержение или доказательство означало бы соответствующий исход и для этих теорем. На сегодня гипотеза Римана входит в восьмую проблему Гилберта, а также в список Задач тысячелетия.
Российский математик предложил оценивать модули производной дзета-функции в ее нулях снизу. Для этого он применил аппарат теории положительно определенных функций и спектральной теории операторов. Несмотря на то, что доказательство теории основано на чисто математических соображениях, прослеживаются его связи с квантовой механикой, квантовой теорией поля и теорией колебаний.
В качестве побочного следствия опровержения учёный предложил доказательство хорошо известной гипотезы о простоте нулей дзета-функции. Ранее Сарнак и Тао подчеркивали, что абсолютное большинство попыток доказательства гипотезы Римана о нулях дзета-функции были несостоятельны, поскольку они использовали заведомо непригодные для этого средства. Как правило, математики игнорировали специфику дзета-функции и допускали очень широкое обобщение, так что найти ошибку с помощью правильно подобранного контрпримера не составляло труда.
Но российский математик попытался опровергнуть гипотезу Римана с помощью довольно специфичного подхода. Он настолько специфичен, что даже обобщение на L-функции не всегда оказывается возможным. Если эта попытка будет успешной, математикам придется пересмотреть сложившиеся в области алгебраической геометрии и теории чисел представления.
Ранее российские математики предложили формулы приближенного расчета гипергеометрических функций. С помощью них описывается множество сложных процессов, в том числе химические, экономические и эпидемиологические.